Fondamenti della meccanica atomica
autofunzioni dello spettro continuo e quelle dello spettro discreto:
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La relazione di completezza (nel caso dello spettro continuo) è:
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ove si è posto (intensità totale dello spettro):
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In. modo analogo, considerando f(r, t) come funzione solo di t (cioè fissando l'attenzione su un determinato punto dello
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la quale esprime che: quanto più esattamente è determinato l'istante del passaggio di un fotone per un determinato punto dello spazio, tanto più
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Nel caso più generale di orbite qualunque si troverebbe un risultato dello stesso ordine di grandezza, e cioè in generale
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e poichè la deve essere periodica a periodo nella (altrimenti la u non risulterebbe ad un sol valore per ogni punto dello spazio), dovrà essere
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approssimazione, in secondo luogo trascura l'influenza dello spin dell'elettrone. Ora si vedrà al cap. V p. III che quando si eliminano questi due errori, usando
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Per distinguere tra loro i due stati dell'atomo, corrispondenti alle due orientazioni dello spin, basta aggiungere alla indicazione dei tre numeri
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fedelmente le proprietà dello spin: tuttavia esso è, come tutti i modelli, molto utile per aiutare l'intuizione e semplificare il linguaggio.
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Ogni livello energetico quindi si sdoppia, per effetto dell'esistenza dello spin, in due livelli vicini: la differenza di essi è dell'ordine di
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definiscono lo stato del sistema, e quindi le frequenze ) e . Perciò, a ciascuna riga dello spettro classico si può far corrispondere una riga dello spettro
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dello sviluppo di Y e Z analogo a (349). In particolare, se per qualcuno dei gruppi di valori si annullano tutti e tre i coefficienti A, B, C, manca
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(1) Si osservi che il teorema vale con la stessa approssimazione anche se si fa corrispondere la riga dello spettro quantistico, di frequenza (354
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, mentre per lo spettro classico si sanno ricavare dai coefficienti dello sviluppo di Fourier, sono indeterminati nella teoria quantistica di Sommerfeld
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osservi che il teorema vale con la stessa approssimazione anche se si fa corrispondere la riga dello spettro quantistico, di frequenza (354), alla
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quelle funzioni f, per le quali l'integrale (3) è convergente (funzioni a quadrato sommabile), cioè solo quei punti dello spazio funzionale per i quali la
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e si interpreta così: il coefficiente dello sviluppo della funzione f mediante le funzioni ortogonali , è la proiezione del vettore f sul versore
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evidentemente gli stessi coefficienti : perciò è opportuno considerare due funzioni siffatte come rappresentate dallo stesso vettore (o punto) dello spazio
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Usando il linguaggio geometrico, possiamo dire che un operatore definisce una corrispondenza tra punti (o tra vettori) dello spazio funzionale
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È facile dimostrare che, se è un o. l. che opera tra vettori dello spazio hilbertiano, le componenti del vettore (che indicheremo con F) sono
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dalle componenti di un vettore rispetto a un sistema di riferimento, alle componenti dello stesso vettore rispetto a un altro sistema di riferimento. Si
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Dato un o. l. (hermitiano) , proponiamoci la seguente questione: esistono vettori (dello spazio hilbertiano) che vengano dall'operatore mutati di
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(componente di f sull'asse ) e analogamente tutte le formule della teoria dei vettori dello spazio hilbertiano verranno modificate nel senso di
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Mediante questa matrice, si passa dalle componenti del vettore f alle componenti rispetto ai nuovi assi dello stesso vettore, mediante la formula
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L'introduzione della funzione impropria ci permette di considerare formalmente gli assi dello spazio hilbertiano che abbiamo chiamati «continui» al
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Infatti, se questa è soddisfatta si ha (detti due tratti infinitesimi dello spettro continuo di autovalori)
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Vogliamo ora ricapitolare brevemente il procedimento della meccanica ondulatoria di Schrödinger, enunciandolo col linguaggio geometrico dello spazio
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delle coordinate e delle velocità quello di altrettante loro funzioni indipendenti, si ha una rappresentazione dello stato in tutto equivalente alla
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: ma affinchè abbia un sol valore in ogni punto dello spazio, essa deve essere periodica in a periodo : quindi dovrà aversi con m intero, ossia
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trattazione ondulatoria dello stesso problema in cui abbiamo numerato gli autovalori , etc.
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Si riconobbe in seguito che la formula di Balmer non è che un caso particolare di una formula più generale che rappresenta tutte le righe dello
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Per avere tutti i termini dello sviluppo (171), manca ancora la conoscenza di : questa si determina imponendo a la condizione di normalizzazione, che
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Confrontando con la (221) e notando che le sono i valori delle per t = 0, si vede che i coefficienti dello sviluppo (226) (che sono da riguardarsi
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Ciò significa che se, dopo l'istante , si fa una nuova determinazione dello stato, c'è una certa probabilità, data in prima approssimazione da , di
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all'ipotesi ) è che la proiezione dello spin su una direzione qualunque ha sempre uno dei due valori , e corrispondentemente la proiezione del momento
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GOUDSMIT si fa uso non della proiezione dello spin su una data direzione, ma dello spin totale, si giunge a formule che richiedono delle lievi modificazioni
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osservi infatti che quando nella teoria di UHLENBECK e GOUDSMIT si fa uso non della proiezione dello spin su una data direzione, ma dello spin totale, si
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Altre due relazioni analoghe a questa si ricaverebbero nello stesso modo: le componenti dello spin sono dunque anticommutative. Tenendo poi conto di
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Come applicazione, supponiamo che un'osservazione dello spin rispetto a una certa direzione n, di coseni , abbia dato il risultato + 1, e supponiamo
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l'espressione classica di questa in funzione delle componenti di spin, e sostituendovi queste con i rispettivi operatori. P. es., la proiezione dello spin su
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Questo risultato giustifica il successo della teoria modellistica dello spin, in quanto essa postulava che lo spin potesse disporsi o parallelamente
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(2) Tale ipotesi si può del resto giustificare con la considerazione che nessun punto dello spazio-tempo deve risultare privilegiato.
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(2) Quindi le tre componenti dello spin non sono osservabili compatibili: da ciò dipende il fatto che le proprietà dello spin non corrispondono in
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che le proiezioni dello spin sui tre assi sono rappresentate dagli operatori:
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prima soluzione corrisponde dunque, nell'interpretazione modellistica, al caso dello spin parallelo al momento orbitale, la seconda al caso dello
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elettroni è assegnata una regione separata dello spazio ed è come se ciascuno avesse la sua individualità: non vi è dunque luogo al fenomeno di scambio.
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(1) Infatti, si consideri l'operatore che rappresenta il quadrato dello spin totale, e che è:
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dove sono gli operatori corrispondenti alle componenti dello spin del primo elettrone (formati a norma del § 45) e sono quelli del secondo
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opposto o «antiparalleli» (1) Infatti, si consideri l'operatore che rappresenta il quadrato dello spin totale, e che è: dove sono gli operatori
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Accademia della crusca
